Меню

Возможностей отличительные черты рассматриваемой модели регуляторы включения

Метод пространства состояний

date image2015-03-22
views image9786

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

При исследовании динамических свойств систем автоматического управления классическими методами после составления дифференциальных уравнений для отдельных элементов системы обычно переходят к передаточным функциям этих элементов. Далее составляют общую структурную схему для всей системы, в которой отдельные элементы представляются блоками с соответствующими передаточными функциями. Затем определяется передаточная функция замкнутой системы, характеризующая связь между изображениями по Лапласу входной и выходной величин.

Поведение системы во времени можно характеризовать не только выходной функцией системы, но и промежуточными переменными в цепи системы, число которых равно порядку системы n. Таким образом, получается n-мерный вектор состояния, множество возможных положений которого образует векторное пространство, называемое пространством состояний системы. Процедура нахождения значений некоторой функции y(t) для будущих моментов времени называется прогнозированием (предсказанием). Возможность предсказания является естественным требованием качественного управления. Основанием для построения алгоритмов прогнозирования поведения системы в любой момент времени (и управления неавтономной системой) достаточно информации о переменных состояния в момент и не требуется знание предыстории процессов, т.е. информации о функциях при .

Метод занимает центральное место в современной теории управления, так как предоставляет широкие возможности формализации процедур анализа, синтеза и автоматизации проектирования.

Состояние системыэто совокупность таких значений переменных, знание которых, наряду с входными функциями и уравнениями, описывающими динамику системы, позволяет определить её будущее состояние и выходную переменную.

Переменными состояния динамической системы с выходом y(t) называется множество переменных xi(t) таких, что значение выходной переменной y(t) в произвольный момент времени ti однозначно определяется, если заданы xi(t) и u[t ,t1].

Выбор переменных состояния динамической системы неоднозначен. Обычно вводят

фазовые переменные, т. е. используют в математическом описании объекта

n – переменных , . В качестве переменных состояния могут быть

взяты физические переменные системы, такие как перемещение, скорость, ток,

напряжение, а также n других независимых функций времени, полученных как

линейные комбинации фазовых и/или физических переменных. Выбор переменных

состояния определяет структуру и параметры модели вход – состояние – выход.

Для неавтономных систем с помощью переменных состояния устанавливается

однозначное соответствие между входными и выходными воздействиями.

Вектор является элементом n – мерного линейного векторного пространства , , — вектор начальных условий (начального состояния).

Пространством состояний называется метрическое пространство , каждый элемент которого полностью определяет состояние системы (процесса) в текущий или заданный момент времени.

Понятие «состояние системы» является одним из базовых (фундаментальных) понятий теории динамических систем, поэтому его следует определять не через другие понятия, а аксиоматически, т. е. перечислением совокупности присущих ему свойств:

1. Аксиома 1. Выход y(t) для всех определяется однозначно, если заданы x(t) и u[t,t1);

2. Аксиома 2. Если траекторию системы разбить на ряд участков, то можно рассматривать движение на каждом из них как новую траекторию при соответствующем начальном состоянии;

и др. в кн. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. Метод пространства состояний. – М.: Наука, 1970.

Состояние системы описывается системой дифференциальных уравнений первого порядка относительно каждой из переменных состояния в форме Коши:

в матричной форме (нормальная форма уравнения состояния):

— матричная форма дифференциального уравнения (абстрактная, формально – алгебраическая структура современной теории управления).

или (модель вход – состояние – выход)

уравнение состояния (модель вход – состояние),

уравнение выхода (модель состояние – выход).

А – матрица коэффициентов (квадратная, параметрическая матрица Сильвестра должна быть обратима) системы,

В – матрица входа,

С – матрица выхода,

D – матрица обхода системы,

Х – вектор состояния,

U – вектор входных воздействий (управляющих и возмущающих),

Y – вектор выходных функций.

Модель системы в форме структурной схемы имеет вид

Общий принцип построения схем моделирования заключается в формировании структурной схемы, состоящей только из интеграторов, сумматоров и коэффициентов усиления.

Если схема моделирования строится на основе дифференциальных уравнений системы, то решение является однозначным. Если исходные данные представлены в виде передаточной функции, то схема моделирования может иметь различную конфигурацию, т. е. решение уже не будет однозначным.

Решение матричного уравнения стационарной автономной системы может быть представлено в виде:

где — фундаментальная (переходная) матрица системы.

Подставляя это уравнение в уравнение выхода системы, получим выражение для расчёта выходной функции

Если для некоторых начальных условий и любых имеет место тождество

где , то значение называется равновесным состоянием или положением равновесия автономной системы.

Очевидно, что в равновесном состоянии выполняется

При условии, что , получаем, что единственным положением равновесия системы является начало координат пространства состояний , т.е.

При существуют нетривиальные множества равновесных состояний (прямые, плоскости), т.е. подпространства, удовлетворяющие уравнению .

После подстановки в уравнение выхода находим равновесное значение выходной переменной .

Графически представимы в виде:

● фазовых траекторий (интегральных кривых).

Фазовой траекторией, или интегральной кривой в , называется линия, описываемая вектором состояния в пространстве состояний при изменении переменной , , т.е. годограф вектор – функции по параметру .

Фазовый портрет – это множество фазовых траекторий, соответствующих различным значениям начальных условий .

Введенные выше понятия обобщаются на класс многоканальных (многосвязных) систем, которые характеризуются несколькими выходными переменными , .

— вектор пространства выходных

, где — матрица размера .

Определим следующие алгебраические объекты:

● характеристический полином матрицы состояния A:

● собственные значения (собственные числа) матрицы A как n чисел ,

являющихся корнями характеристического полинома;

● собственные векторы матрицы .

Полагая , решение уравнения системы можно представить в виде

Читайте также:  Регалис регулятор роста нормы

где — свободная составляющая (переходный процесс автономной системы), соответствующая решению однородного дифференциального уравнения и зависящая от начальных условий ,

— вынужденная составляющая, соответствующая переходному процессу системы при нулевых начальных условиях (реакция системы на входное воздействие).

Матрица является весовой (импульсной переходной) матрицей.

Источник



Возможностей отличительные черты рассматриваемой модели регуляторы включения

Тема:«Векторно-матричные модели систем управления в непрерывном времени»

Понятие пространства состояний

Современная теория автоматического управления оперирует с векторно-матричными моделями динамических систем. При этом рассматриваются в общем случае многомерные системы, т.е. системы произвольного порядка со многими входами и многими выходами, в связи, с чем широко используются векторно-матричные уравнения и аппарат векторной алгебры. Для получения векторно-матричной модели (ВММ) исследуемая динамическая система представляется в виде “черного ящика” с некоторым числом входных и выходных каналов (рис. 1.1, а).

Рис.1.1. Скалярное (а) и векторное (б) представления динамической системы в виде «черного ящика»

Все переменные, характеризующие систему, можно разделить на три группы.

1. Входные переменные или входные воздействия, генерируемые системами, внешними по отношению к исследуемой системе. Они характеризуются вектором входа.

r — число входов

2. Выходные переменные, характеризующие реакцию системы на указанные входные воздействия. Представляются вектором выхода

m — число выходов.

3. Промежуточные переменные, характеризующие внутреннее состояние системы, — переменные состояния, представляются вектором

n — число переменных состояния.

Таким образом, совокупность входов можно рассматривать как один обобщенный вход, на который воздействует вектор входа u, совокупность выходов как вектор y, а совокупность промежуточных координат, характеризующих состояние системы, — в виде вектора состояния x (см. рис. 1.1, б).

Состояние системы — это та минимальная информация о прошлом, которая необходима для полного описания будущего поведения (т.е. выходов) системы, если поведение ее входов известно.

Собственно система, ее входы и выходы — это три взаимосвязанных объекта, которые в каждой конкретной ситуации определяются соответственно математической моделью системы, заданием множеств входных и выходных переменных.

Решение задач анализа и синтеза связано с исследованием состояний системы, множество которых образует пространство состояний, .

Векторно-матричные модели в непрерывном времени

В общем случае динамическая система в непрерывном может быть описана парой матричных уравнений:

где Fn-мерная вектор-функция системы; Qm-мерная вектор-функция выхода.

Матричное уравнение (1.1) называют уравнением состояния системы. Его решение, удовлетворяющее начальному условию , дает вектор состояния системы

Матричное уравнение (1.2), определяющее выходные переменные в зависимости от x(t) и u(t), называют уравнением выхода.

В частном случае зависимости могут быть линейными комбинациями переменных состояния xi и входных переменных uq. При этом динамическая система описывается в векторно-матричной форме:

Переход к стационарным моделям позволяет оперировать с коэффициентными матрицами, т.е. со стационарными уравнениями

А — функциональная матрица размером n x n, называемая матрицей состояния системы (объекта);

В — функциональная матрица размером n x r, называемая матрицей управления (входа);

С — функциональная матрица размером m x n, называемая матрицей выхода по состоянию;

D — функциональная матрица размером m x r, называемая матрицей выхода по управлению.

Очень часто D=0, т.е. выход непосредственно не зависит от входа.

В дальнейшем под векторно-матричной моделью объекта (системы) будем понимать описание ее динамического поведения в классе стационарных непрерывных линейных систем, представленное в виде уравнений (1.6), (1.7).

Таким образом, ВММ имеет единую форму представления, что значительно облегчает алгоритмизацию и компьютерную реализацию проектных процедур и проектных операций структурно-параметрического синтеза и анализа систем управления. Однако с использованием ВММ может быть получено лишь приближенное проектное решение, которое потребует дальнейшего уточнения, так как такие модели отображают динамическое поведение реального объекта лишь в классе стационарных линейных систем.

Построение ВММ реального объекта сопряжено с проблемами линеаризации исходного математического описания и приведения его к структурированному виду — форме Коши.

Если мы знаем физическое описание системы и можем записать уравнения, описывающие поведения ее отдельных частей, то получить уравнения состояния системы обычно сравнительно не трудно. Покажем эту процедуру на нескольких примерах.

Пример 1.1. Получим уравнения состояния для простейшей RLC-цепи, показанной на рис 1.2.

Динамическое поведение этой системы при полностью определяется, если известны начальные значения и входное напряжение U(t) при . Следовательно, можно выбрать в качестве переменных состояния, то есть

Для указанных переменных состояния можно записать дифференциальные уравнения

или в векторно-матричной форме

Таким образом для рассматриваемой системы матрицы А, В, С векторно-матричной модели будут иметь следующий вид:

Пример 1.2. На рис. 1.3. показан электродвигатель постоянного тока независимого возбуждения, работающий при постоянном магнитном потоке (Ф=const).

Дифференциальные уравнения для такого объекта могут быть записаны относительно следующих переменных состояния: — скорости вращения ротора, тока якоря i(t), углового перемещения ротора . При использовании знакомых зависимостей для электродвижущей силы и вращающего момента двигателя получим уравнение электрической цепи

и уравнения вращающейся части

где J – приведенный момент инерции электродвигателя.

Представляя векторы состояния, входа и выхода как получим следующую векторно-матричную модель электродвигателя постоянного тока

То есть для рассматриваемой системы матрицы А, В, С векторно-матричной модели будут иметь следующий вид:

Пример 1.3. Построим векторно-матричную модель электромеханического объекта — электропривода постоянного тока, приводящего в движение через механический редуктор тяжелую платформу. Функциональная схема такого объекта приведена на рис. 1.4.

Здесь легко выделить три функциональных элемента, соответствующие трем видам преобразования энергии:

преобразователь, осуществляющий управляемое преобразование электрической энергии;

двигатель, выполняющий преобразование электрической энергии в механическую, — электромеханический преобразователь;

Читайте также:  Настройка регулятора для печей

механизм, осуществляющий передачу механической энергии от вала двигателя через редуктор к рабочему органу — платформе.

При использовании общеизвестных допущений [5] и обозначений координат и параметров такого объекта его динамическое поведение при МС=0 описывается следующей системой линейных дифференциальных уравнений:

принимают следующий вид:

После подстановки реальных значений параметров объекта, которые приведены в табл. 1.1, компоненты матриц состояния А и управления В принимают вид (1.13).

На рис. 1.5. приведено окно редактирования векторно-матричной модели (1.13) в среде Компьютерного комплекса функционального проектирования динамических систем.

Контрольные вопросы к лекции № 1.

1. Какие переменные при построении математического описания системы принято называть

a) входными переменными;

b) выходными переменными;

c) переменными состояния?

2. Математическое описание объекта с одним входом и одним выходом представлено структурной схемой, содержащей q элементов, представленных передаточной функцией общего вида

Как в этом случае можно определить размерность пространства состояния для описания этого объекта?

3. Математическое описание объекта с двумя входами и одним выходом y(t) представлено следующим уравнением в операторной форме

Какова в этом случае будет размерность пространства состояния n для описания этого объекта?

4. Выберите из приведенных ниже записей возможные формы представления уравнения состояния для непрерывных систем.

5. Объект управления имеет r – входов, m — выходов, его математическое описание в непрерывном времени содержит n дифференциальных уравнений первого порядка. Какова в этом случае будет размерность матрицы состояния?

6. Сформируйте векторно-матричную модель фильтра, электрическая схема которого представлена на рис. 1.6.

Здесь следует учесть, что

  • объект имеет один вход — U1 один выход — iH; все параметры электрической схемы R1, R2, L, C1, C2, RH известны и являются постоянными;
  • могут быть использованы следующие обозначения

7.При составлении математического описания динамических процессов в упругом электромеханическом объекте, влючающем в себя электродвигатель постоянного тока независимого возбуждения (Ф=const) и механизм, модель которого представляется двухмассовой системой (см. пример 1.3), могут быть использованы следующие переменные:

  • iя — ток электродвигателя,
  • — скорость вращения электродвигателя,
  • Му – упругий момент механизма,
  • — скорость вращения механизма,
  • — угол поворота ротора электродвигателя,
  • l – линейное перемещение механизма.

Какие из этих переменных, и в какой последовательности включены в состав вектора состояния приведенной ниже векторно-матричной модели?

ОТВЕТЫ

a) переменные, характеризующие реакцию системы на входные воздействия;

b) переменные, генерируемые системами, внешними по отношению к исследуемой системе;

c) промежуточные переменные, характеризующие внутреннее состояние системы.

Источник

Сам себе дизайнер: типичные ошибки в дизайне интерьеров, сделанных непрофессионалами

Вы собираетесь начать ремонт и уверены, что дизайнер вам ни к чему: во-первых, у вас обычная квартира, а во-вторых, и вы не миллионер. Рассказываем, какие типичные ошибки в ремонте «сам себе дизайнеров» приводят к лишним тратам и могут сделать квартиру некрасивой, неудобной (или даже опасной) для жизни, да ещё и помешают её потом продать.

Незаконные переделки

В квартире можно переделывать не всё, некоторые усовершенствования законодательно запрещены. С несущими стенами всё очевидно: их нельзя сносить и даже делать в них проёмы (хотя и к этому некоторые относятся с пренебрежением). Но есть и другие ограничения: например, расширять санузел можно только за счёт коридора, запрещено присоединять балконы к жилым помещениям, нельзя самовольно отключать газ, сносить стену между комнатой и кухней с газовой плитой и так далее.

Перекраивая квартиру по своему усмотрению, люди часто делают спальни в кухнях, кухни в спальнях, создают комнаты без окон и прочее. Что из этого может получиться, мы рассказывали здесь в статье «Перепланировка в квартире: что можно, а что нельзя делать». Спойлер: все эти ошибки в ремонте могут дорого стоить впоследствии.

Так, незаконная перепланировка бывает опасной: например, после объединения кухни и комнаты при взрыве газа пострадать шансы выше, а из-за сноса несущей стены может рухнуть дом. Если о такой перепланировке станет известно (банально — нажалуются соседи, и к вам придут с проверкой), сначала выпишут штраф и потребуют всё вернуть на место, а потом, если ничего не менять, квартиру могут забрать. А ещё такую недвижимость сложнее продать: проблем с законом не хочет никто, да и любителей необычных интерьеров немного. Хороший дизайнер всего этого не допустит.

«Боязливые» интерьеры

Значительную часть ремонтов без дизайнера можно охарактеризовать словом «боязливые». Люди боятся использовать цвет, миксовать разные стили, поэтому всё получается скучно: мебель заказывают из одной серии, шторы подбирают в тон обоям и так далее. Особой любовью пользуются все оттенки бежевого как самого «беспроблемного» цвета. Такие ремонты делают квартиру похожей на гостиницу. Даже если было потрачено много денег, интерьер выглядит безликим, по нему сложно понять, кто живёт в этой квартире, какие у него интересы и вкусы.

«Бесстрашные» интерьеры

Обратная ситуация: некоторые квартиры представляют собой пример абсолютного бесстрашия своих владельцев. Их хозяева не боятся никаких ошибок и сочетают всё со всем. В результате интерьер получается «на любителя»: если нет хорошо продуманного проекта, никто не сможет точно предсказать, как диван, который вдруг неожиданно понравился в салоне, будет сочетаться с кухней, которую оплатили на прошлой неделе.

Устаревшие представления о прекрасном

Немалую долю ошибок в интерьерах можно найти в квартирах, владельцы которых не экономили: купили дорогие материалы, мебель, текстиль, которые выглядят «богато» или как минимум «оригинально». До сих пор в таких квартирах встречаются копии известных фресок, арки в дверных проёмах, обшитые искусственным камнем, фотообои с водопадами, цветные наливные полы и многоярусные натяжные потолки, шкафы-купе с замысловатым дизайном дверей и так далее. На такие ремонты могут тратиться миллионы рублей, но вид жилья будет несовременным.

Читайте также:  Рено симбол регулятор оборотов печки

Во многом тяга россиян к «интересным» интерьерам — результат вынужденных многолетних ограничений, в которых жило советское общество. Дефицит буквально всего отразился и на интерьерах той эпохи, которые выглядели очень скромно: с одинаковыми обоями, мебелью и коврами на стенах. Это привело к гиперкомпенсации. Теперь, когда в ремонте стало можно воплотить любые фантазии — превратить квартиру в дворец, романтичное пляжное бунгало, итальянский палаццо, сельский коттедж в Англии — некоторые решили сделать это без оглядки на реалии.

Не обязательно даже такой ремонт делали без дизайнера: часто даже наличие специалиста не помогает. Заказчики могут потребовать сделать в панельной двушке «Эрмитаж» и не будут выслушивать никакие уговоры и доводы. Настоящий профессионал, не страдающий от отсутствия заказов, от такого проекта, скорее всего, откажется. Но рано или поздно запрос найдёт своего исполнителя и в объявлении о продаже подобной квартиры будет написано «дизайнерский ремонт».

Вкус у общества развивается постепенно, и такие интерьеры будут выходить из моды. Уже сейчас покупатели могут не только не оценить лепнину и каннелюры, но и попросить скидку — слишком дорого это всё ломать.

Ошибки в эргономике

Хозяевам часто не хватает опыта и натренированности в объёмно-пространственном мышлении, от этого страдает эргономика пространства. Типичные ошибки: мебель «по стеночке», просчёты в габаритах и функциональности мебели. В итоге: интерьер «не работает», пространство заставлено шкафами, комодами, ненужными тумбочками, проходы слишком узкие, об углы все бьются, на унитаз нужно садиться боком, а квартира выглядит загромождённой.

От ошибок в эргономике особенно страдают маленькие квартиры, прежде всего студии: в таком тесном пространстве даже стандартный платяной шкаф займёт полквартиры и не оставит места для жизни. Из-за таких ошибок в дизайне интерьера, отсутствия грамотного зонирования может стать неудобной и довольно большая квартира: люди не учитывают, где они будут спать, где работать, а где станет играть и учиться их ребёнок. Недостаток опыта мешает продумать пространство так, чтобы у каждого члена семьи и у каждой вещи было своё место.

Кроме того, непрофессионалам, делающим ремонт без дизайнера, часто не хватает гибкости в интерьерных решениях, чтобы, например, отказаться от привычных вещей в пользу красоты и удобства. Допустим, заменить привычную «советскую» прихожую открытой вешалкой и невысокими узкими комодами, а для хранения большей части вещей выделить гардеробную.

Непродуманная электрика и свет

Если нет продуманной эргономики и планировки, розетки делаются по наитию. Как правило, их выводят по две в каждом углу, но так как мебель выстраивается «по стеночке», то все они оказываются закрыты. Двух-трёх рабочих розеток мало, приходится покупать удлинители, и в итоге провода валяются по всей квартире.

Освещения в непрофессиональных проектах тоже получается очень мало: одна люстра по центру и несколько бра или рабочих ламп в углах. Нет ни акцентного света, ни вечернего, ни уютного, ни яркого для работы. И очень много тёмных углов.

Плохо рассчитанный бюджет проекта

Непрофессионалу очень трудно рассчитать бюджет проекта и необходимое количество материалов. Без дизайнера почти в 100% случаев люди рассчитывают на одну сумму затрат на ремонт, а выходит совсем другая.

И многие желания разбиваются о стену недостаточного финансирования. Типичная история: в комнатах сделан «золотой» ремонт, а на кухню не хватило — туда покупают обычные бумажные обои, и отделка быстро приходит в негодность. Из-за ошибок в расчётах на ремонт часто приобретается либо больше материалов, чем нужно, либо меньше. Пока идёт ремонт, нужные обои, плитку или ламинат могут уже разобрать в магазинах, и тогда совершенно непонятно, как выходить из ситуации.

Ошибки в порядке действий и процессе ремонта

Неспециалисту сложно удержать в голове множество мелких аспектов ремонта, порядок и качество выполнения работ: в процессе портится что-то уже отремонтированное. Не учитываются аспекты вроде тех, какую плитку лучше всего взять в ванную (чтобы была не слишком скользкой и не опасной), где именно класть тёплый пол, а где — нельзя (под холодильником, например, это запрещено делать) и так далее.

А ещё в ремонте без дизайнера часто встречаются неправильно сделанные замеры: мебель не входит в нишу, не дотягивается шнур холодильника до нужной розетки, дверь балкона ударяется о комод и так далее.

Выводы

Ошибочно полагать, что дизайнеры создают только «навороченную красоту для богатых»: на самом деле вдумчивый профессиональный проект способен сэкономить бюджет и сделать более удобной даже довольно тесную квартиру или жильё неудачной планировки. Мы подробнее рассказывали, что делает дизайнер, во сколько примерно обходятся его услуги и как можно сэкономить на дизайнерском проекте. Участие профессионала поможет не только избежать явных ошибок в ремонте, но и потратить на него меньше денег благодаря правильным расчётам.

Выбирая дизайнера для своей квартиры, изучите его портфолио, уточните, что входит в его услуги и сколько стоит каждый этап: планировочное решение, эскиз, визуализация, рабочая документация, сопровождение. Можно воспользоваться сайтами, где агрегируют проекты профессионалов по всей стране (например, Houzz).