Меню

Задачи с мощностями множеств

Примеры решения типовых задач

1. Записать множество Е, если , причем А=<2, 4, 6, 8, 10, 12>, B=<3, 6, 9, 12>.
Решение.
есть не что иное, как объединение множеств А и В, т.е. множество Е будет состоять из элементов, принадлежащих как множеству А, так и множеству В: Е=<2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12>.

2. Записать множество , если А=<2, 4, 6, 8, 10, 12>, B=<3, 6, 9, 12>.
Требуется выполнить операцию пересечения т.е. множество Е будет состоять только из элементов, одновременно входящих как в множество А, так и в множество В: Е=<6, 12>.

3. Записать множество , если А=<2, 4, 6, 8, 10, 12>, B=<3, 6, 9, 12>.
Требуется выполнить операцию разности т.е. множество Е будет состоять из всех элементов множества А, не принадлежащих В: Е=<2, 4, 8, 10>.

4. Записать множество , если А=<2, 4, 6, 8, 10, 12>, B=<3, 6, 9, 12>.
Из предыдущего примера имеем . Для получения окончательного ответа требуется выполнить операцию дополнения т.е. множество Е будет состоять из элементов множества В: Е=<3, 6, 9, 12>.

5. Проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера следующую формулу:
Выполняя действие в скобках получим:

После этого получаем А\Е т.е. необходимо выделить участок множества А, не принадлежащий множеству Е. Ответ примет форму:

6. Проиллюстрировать с помощью Диаграмм Венна верность тождества:

Проиллюстрируем левую часть тождества, обозначив сначала объединение множеств В и С,

затем пересечение множеств А и . Окончательный вид левой части:

Теперь проиллюстрируем правую часть:

окончательный вид правой части:

Как видим диаграммы совпадают, следовательно тождество верно.

7. По диаграмме Венна записать формулу:

8. Доказать
Решение.

по закону да Моргана и закону дистрибутивности

9. Доказать, что , где А и В — множества.
Решение. — по определению операции разности.
Подставим выражение в формулу и вынесем А за скобки:

10. Доказать, что тогда и только тогда, когда иначе .
Решение. Пусть U — универсальное множество, тогда .
Покажем, что .
Пусть .
Покажем, что .
Пусть .
Отсюда следует, что .

Источник



Теория множеств: примеры решений задач

На этой странице вы найдете готовые примеры по базовому разделу дискретной математики: элементам теории множеств. Типовые задачи снабжены подробным решением, формулами, пояснениями. Используйте их, чтобы научиться решать подобные задачи или закажите решение своей работы нам.

Читайте также:  Двигатель не развивает полной мощности форд

Основные темы (множества) : задание множеств, действия с множествами (пересечение, объединение, разность, дополнение); формула включений-исключений и применение для практических задач; декартово произведение множеств, мощность множества, построение диаграмм Эйлера-Венна.

Задачи с решениями о множествах онлайн

Задача 1. Начертите фигуры, изображающие множества , где — вещественная плоскость. Какие фигуры изображают множества ?

Задача 2. Докажите тождество

Задача 3. Установите взаимно однозначное соответствие между всеми прямыми на плоскости и всеми точками координатной оси Ох.

Задача 4. М — подмножество множества натуральных чисел. 10 элементов множества являются простыми числами, а остальные кратны либо 2, либо 3, либо 5. Определить мощность множества , если оно содержит: 70 чисел кратных 2; 60 чисел кратных 3; 80 числе кратных 5; 98 чисел кратных или 2 или 3; 95 чисел кратных или 2 или 5; 102 числа кратных или 3 или 5; 20 чисел, кратных 30.

Задача 5. Проверить справедливость тождеств или включений, используя алгебру множеств и диаграммы Эйлера-Венна.

Задача 6. Записать множества $A, B, C$ перечислением их элементов и найти . если
$A$ — множество корней уравнения $x^2-12x-28=0$,
$B$ — множество делителей числа 28,
$C$ — множество нечетных чисел $X$, таких что $0 \le X \le 7$.

Задача 7. Задано универсальное множество $U=\<1,2,3,4,5,6,7,8\>$ и множества $X=\<1,3,6,7\>$, $Y=\<3,4,7,8\>$, $Z=\<3,4,7,8\>$. Записать булеан множества $X$, любое разбиение множества $Y$, покрытие множества $Z$. Выполнить действия $(X \setminus Y)\cap \bar Z$.

Задача 8. Решить задачу, используя диаграмму Эйлера-Венна.
Четырнадцать спортсменов участвовали в кроссе, 16 – в соревнованиях по плаванию, 10 – в велосипедных гонках. Восемь участников участвовали в кроссе и заплыве, 4 – в кроссе и велосипедных гонках, 9 – в плавании и велосипедных гонках. Во всех трех соревнованиях участвовали три человека. Сколько всего было спортсменов?

Читайте также:  Как узнать мощность зарядника

Задача 9. Пусть $Р(А)$ – множество всех подмножеств множества $А$. В каждом из следующих упорядоченных множеств укажите все минимальные и все максимальные элементы; найдите наибольший и наименьший элементы, если они есть, или докажите их отсутствие:

Задача 10. В химическом продукте могут оказаться примеси четырёх видов – $a,b,c,d$. Приняв в качестве исходного множества $М = \$, образуйте множество всех его подмножеств $В(М)$. Дайте содержательную интерпретацию этого множества и его элементов. Каким ситуациям соответствуют, в частности, несобственные подмножества?

Решение задач о множествах на заказ

Выполняем для студентов очников и заочников решение заданий, контрольных и практических работ по любым разделам теории множеств. Также оказываем помощь в сдаче тестов. Подробное оформление, таблицы, графики, пояснение, использование специальных программ при необходимости. Стоимость примера от 100 рублей , оформление производится в Word, срок от 2 дней.

Источник

Задачи с множествами

Множество — это совокупность объектов, которая рассматривается как единое целое и обладающих определенным свойством (признаком). Множество может быть ученники класса, фрукты, автомобили на парковке и т.д. В задачах ЕГЭ множествами являются сайты — результаты поисковых запросов в интернете.

Объекты, составляющие множество, называются элементами.

Множества принято обозначать латинскими буквами. Для наглядности множества представляют в виде окружностей, так называемых кругов Эйлера.

Пустым множество называется множество, которое не содержит элементы. Обозначается ∅.

Объединение. Объединение множеств A и B — это множество всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B. Обозначется A ∪ B. В языке запросов поисковых машин объединению соответствует знак | — или.

Объединение множеств

Пересечение. Пересечение множеств A и B — это множество элементов, которые принадлежат обоим множествам A и B. Обозначается A ∩ B. В языке запросов поисковых машин пересечению соответствует знак & — И.

Пересечение множеств

Разность. Разность множеств A и B — это множество элементов множества A, которые не принадлежат множеству B. Обозначается A \ B.

Читайте также:  Пылесос зубр мощность всасывания

Разность множеств

Мощностью множества называется число его элементов. Обозначается |A|

Для вычисления мощности объединения множеств имеет место быть формула (принцип включений и исключений):

|A ∪ B| = |A| + |B| — |A ∩ B|

Для вычисления мощности объединения трех множеств:

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| — |A ∩ B| — |A ∩ C| — |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

Множества A B C

Задача: В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашел поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета:

Запрос Количество страниц
(тыс.)
торты | пироги 12000
торты & пироги 6500
пироги 7700

Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу » торты»?

Решение: Обозначим буквой Т — множество страниц, отвечающих запросу «торты», а буквой П — отвечающих запросу «пироги». Тогда по формуле включений и исключений:

|Т | П| = |Т| + |П| — |Т & П|. Подставляем известные значения: 12000 = |Т| + 7700 — 6500, следовательно |Т| = 10800. Ответ: 10800

Задача: В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет:

Запрос Количество страниц
(тыс.)
Толстой & Гоголь & Чехов 110
Гоголь & Чехов 275
Толстой & Чехов 215

Компьютер печатает количество страниц (в тысячах), которое будет найдено по следующему запросу: (Толстой|Гоголь) & Чехов Укажите целое число, которое напечатает компьютер. Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Решение: Представим множества страниц, найденных по запросам в виде кругов Эйлера. Каждую область пронумеруем, а мощность множества соответствующей области будем обозначать как Ni, где i — номер области (множества).

Множества Толстой Гоголь Чехов

Сложим второе и третье равентства: N4 + 2N5 + N6 = 490, или N4 + N5 + N6 = 490 — N5 , подставим в правую часть известное нам значение N5, N4 + N5 + N6 = 380. Ответ: 380

Источник